Akustik

Die physikalische Akustik ist die Lehre vom Schall.

Lochscheibe194x194.gif Demonstration: Lochsirene

Pressluft wird durch die Löcher einer rotierenden Scheibe geblasen. Man erkennt:

1. Die Druckamplitude ist ein Mass für die Lautstärke.
2. Die Frequenz ist ein Mass für die Tonhöhe.
3. Tonabstände (Intervalle) werden als gleich empfunden, wenn die Frequenzverhältnisse gleich sind.


Schall kann als Druckwelle oder Druckschwingung beschrieben werden:
laufende, harmonische Druckwelle: ∆p(x,t) = ∆pmax·sin(kx-ωt)
Läuft die Welle an einem Empfänger vorbei, so registriert dieser eine Schwankung des Luftdrucks mit Amplitude ∆pmax. Normalerweise ist diese Amplitude wesentlich kleiner als der mittlere Luftdruck.

Ton-Klang-Geräusch
Ein Ton ist eine harmonische Druckschwankung: ∆p(t) = ∆pmax·sin(ωt) (Sinuston)
Töne können z.B. elektronisch erzeugt werden.

Ein Klang ist eine periodische Druckschwankung. Nach Fourier lässt sich ein Klang folgendermassen als Summe von Tönen darstellen:
∆p(t) =
Klang		 ∆p1·sin(ωt+φ1) +
Grundton
1. Partialton		 ∆p2·sin(2ωt+φ2) +
1. Oberton
2. Partialton		 ∆p3·sin(3ωt+φ3) +
2. Oberton
3. Teilton		 ∆p4·sin(4ωt+φ4) +
3. Oberton
4. Teilton		 ∆p5·sin(5ωt+φ5) + etc.
4. Oberton
5. Partialton

Die Frequenz f1 = ω/2π des Grundtones bestimmt die Tonhöhe, die Amplituden der Teiltöne bestimmen die Klangfarbe. Die Anfangsphasen der Teiltöne sind nicht hörbar. Bei einem Klang sind die Obertöne automatisch Harmonische des Grundtons, d.h. deren Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f1.

Ein Geräusch ist eine aperiodische Druckschwankung.
Beispiele: Knall, Rauschen, Tongemisch (Obertöne nicht Harmonische eines Grundtons)
Streng genommen ist ein "Klavierton" nur ein Geräusch, denn er hat einen Anfang und ein Ende, ist also nicht periodisch. Über ein kurze Zeitspanne kann man ihn aber näherungsweise als periodisch anschauen. Einem richtigen Geräusch kann man nur schlecht eine Tonhöhe zuordnen.

Stimmungen
Die meisten Instrumente stellen nur eine begrenzte Auswahl an Tönen (eigentl. Klängen) zur Verfügung. Man nennt dies eine Tonleiter. Die Töne einer Tonleiter werden lateinisch nummeriert:
Prim, Sekunde, Terz, Quarte, Quinte, Sexte, Septime, None, Decime, usw.

Müssen mehrere Instrumente zusammen spielen oder muss ein Chor mehrstimmig singen, so sollte man sich für eine bestimmte Stimmung entscheiden.

Reine Stimmung
Die antiken Griechen und Römer bauten ihre Tonleitern auf der Tatsache auf, dass zwei Töne konsonant (wohlklingend) sind, wenn sich die Frequenzverhältnisse mit kleinen ganze Zahlen schreiben lassen. Ausgehend von einem Basiston (Prim) ordneten sie konsonante, höhere Töne in der Tonleiter ein:
Oktave: 2:1, Quinte 3:2, Quarte 4:3, Terz 5:4 (konsonante Intervalle)
Den Schritt von Quinte zu Quarte (9:8) wird grosser Ganzton genannt. Mit seiner Hilfe wird die Tonleiter fertig aufgefüllt: Sekunde 9:8, Sexte 5:3, Septime 15:8
Die reine Stimmung klingt sehr schön, hat aber den Nachteil, dass ein Instrument auf eine bestimmte Tonart festgelegt ist, d.h. man kann nicht einfach alles einen Ton höher spielen.

Temperierte Stimmung
Die Oktave mit dem Frequenzverhältnis wird beibehalten, aber man teilt sie auf in zwölf gleich grosse Halbtöne. Ein Ganzton besteht immer aus zwei gleichen Halbtönen.
Halbtonintervall: 21/12 = 1.059463..

Kammerton
Ein Orchester muss sich auf einen gemeinsamen Basiston einigen. Einigermassen verbreitet ist der sogenannte Kammerton mit einer Frequenz von 440 Hz (Note a1).

Beispiel: Welcher Note entspricht eine Frequenz von f = 530 Hz?
f = fa'·2x/12 hat die Lösung x = 3.22
Drei Halbtöne über a1 liegt die Note c2

Saiten und Pfeifen
Regt man eine gespannte Saite mit einer harmonischen Schwingung zum Vibrieren an, so wird die Amplitude der Saite nur bei ganz bestimmten Frequenzen gross. Diese Resonanzfrequenzen sind Harmonische einer Grundfrequenz: fn = n·f1
Bei diesen Resonanzfrequenzen bildet sich eine stehende Welle:
Stehwelle828x57.gif
Eine stehende Welle hat Schwingungsbäuche und Schwingungsknoten. Dort wo die Saite befestigt ist, befindet sich ein Knoten. Der Abstand zw. zwei Knoten ist eine halbe Wellenlänge. Bei der Grundfrequenz f1 hat die Welle einen Bauch, bei der doppelten Frequenz zwei Bäuche, etc. Die Saitenlänge ist ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlängen: l = n·λn/2
Die Geschwindigkeit c einer Saitenwelle wächst mit der Spannkraft F und sinkt mit der Massenbelegung μ (= Linienmassendichte resp. Masse pro Länge): c = (F/μ)1/2 Bei einer homogenen Saite ist μ = A·ρ (Querschnittsfläche mal Dichte).
Eine schwingende Saite hat also folgendes Frequenzspektrum:
fn = n·f1,   f1 = c/2l, c = (F/μ)1/2

Die Luftsäule in schlanken Pfeifen lässt sich auch resonant zu Schwingungen anregen. Die Grundfrequenz ist unabhängig vom Pfeifenmaterial und (fast) unabhängig von der Querschnittsfläche. An einem offenen Ende befindet sich ein Bauch der Luftbewegung (Schallschnelle), an einem geschlossenen Ende ein Knoten. Damit kann man folgende Tonspektren herleiten:
(beidseits) offene Pfeife:
Das Frequenzspektrum enthält den Grundton sowie sämtliche Harmonischen:
fn = n·f1,   f1 = c/2l, Schallgeschwindigkeit c = (κRT/M)1/2
gedackte Pfeife (einseitig zu)
Das Frequenzspektrum enthält den Grundton sowie sämtliche ungeraden Harmonischen: f1, f2 = 3f1, f3 = 5f1, usw.
fn = (2n-1)·f1,   f1 = c/4l

Lautstärke
Das physikalische Mass für die Lautstärke heisst Schallstärke. Die Schallstärke ist eine Energieflussdichte (Energie, die pro Zeit und Fläche durch eine Fläche tritt): J = ∆E/(∆tA) mit Einheit W/m2
Eine ebene, laufende Schallwelle mit Amplitude ∆p hat die Schallstärke J = ∆p2/(2cρ)

Die Schallstärke gibt unser Empfinden nur schlecht wieder. Empfindungen werden durch das Weber-Fechner Gesetz beschrieben: Die Stärke der Empfindung ist näherungsweise proportional zum Logarithmus der physikalischen Reizstärke. Nimmt man das wörtlich, so gelangt man zum Schallpegel.

Schallpegel
Definition: L = 10·log10(J/J0) mit Hilfseinheit Dezibel (dB)
J0 = 10-12 W/m2 (Hörschwelle bei 1 kHz)
Beispiel: Verdoppelt sich die Schallstärke, so steigt der Schallpegel um 3 dB.

Der Schallpegel hat den Nachteil, dass er den Frequenzgang des menschlichen Gehörs beiseite lässt.
Infraschall: f < 20 Hz, Hörschall: f = 20 Hz - 20 kHz, Ultraschall f > 16 kHz

Lautstärke
Versieht man ein Schallpegelmessgerät mit einem Filter, der das menschl. Gehör simuliert, so gelangt man zur Lautstärke mit Einheit dB(A).
Hörschwelle 0 dB(A), Gespräch 40-60 dB(A), Disco 100 dB(A), Schmerzgrenze 120 dB(A).
Verwendet man ein Diagramm mit experimentell bestimmten Isophonen (Linien gleicher Lautstärke), so gelangt man zur Phon-Skala.

akustischer Dopplereffekt
Bewegen sich eine Schallquelle und ein Beobachter auf einander zu, so hört der Beobachter einen höheren Ton, als wenn beide ruhen:
fB = fQ(c+vB)/(c-vQ)
Alle Geschwindigkeiten sind relativ zur Luft gemessen. c ist die Schallgeschwindigkeit.

optischer Dopplereffekt
Licht oder andere elektromagnetische Wellen haben keinen Träger, deshalb kommt im Dopplergesetz nur die Relativgeschwindigkeit vor. Für kleine Geschwindigkeiten gilt:
∆f/fQ ≈ -vr/c
Hier ist c die Lichtgeschwindigkeit und vr die Radialgeschwindigkeit (Relativgeschwindigkeit entlang der Verbindungslinie). Bei grossen Geschwindigkeiten muss man die vollständige Formel aus der speziellen Relativitätstheorie verwenden. Anwendung: Aus den Linienverschiebungen im Spektrum die Geschwindigkeit eines Sterns bestimmen.

Überschall
Überschreitet ein Körper die Schallgeschwindigkeit, so bildet sich eine Stosswelle in Form eines Kegels. Dieser sog. Machsche Kegel hat die Spitze beim Körper und ist entgegen der Bewegungsrichtung geöffnet. Wenn der Machsche Kegel beim Beobachter vorbeikommt, hört dieser einen Überschallknall. Der halbe Öffnungswinkel ist sinα = c/v. Das Verhältnis v/c heisst Machzahl.


letzte Änderung: 9. Juni 2008 / Lie.
Revisionen: 27. Juli 2023 / Lie.

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