Mathematische Methoden der Physik
Vektorrechnung
Die mathematische Vektorrechnung ist geformt worden nach dem Vorbild der Kräftelehre, wo das Rechnen mit gerichteten Grössen schon lange üblich war.
Beispiel: Kraftvektoren haben in kartesischen Koordinaten drei Komponenten:
Vektorgleichungen betreffen immer alle Komponenten. Lässt man den Vektorpfeil weg, ist meistens der Betrag des Vektors gemeint (Stärke der Kraft):
Beim Rechnen mit physikalischen Vektoren ist darauf zu achten, dass diese wie alle anderen physikalischen Grössen Einheiten haben. Niemals darf auf einer Seite der Gleichung ein Vektor stehen und auf der anderen ein Skalar (Grösse ohne Richtung). Vektoren dürfen nicht im Nenner eines Bruches stehen, weil die Division durch einen Vektor nicht definiert ist.
Ausgleichsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate
(Regression, Fit, Kurvenanpassung)
Beispiel: Ausgleich einer Proportionalität y = ax
Gegeben: n Wertepaare (xi, yi), i = 1, .., n
Gesucht: Jener Wert des Parameters a in der Funktion y = a·x, der die Summe (yi - a·xi)2 über alle Wertepaare möglichst klein macht. Lösung:
Regressionen werden vom Rechner durchgeführt. Computer und Taschenrechner stellen Funktionen mit freien Parametern zur Verfügung, die wichtigsten sind lineare Regression y=ax+b, Potenzfunktion y=a·xb, Exponentialfunktion y=a·bx und Polynome.
Infinitesimalrechnung
Infinitesimalrechnung ist der Überbegriff von Differenzial- und Integralrechnung. Sie ist im 17. Jahrhundert von Newton und anderen erfunden worden, um Mechanik zu betreiben.
Die mittlere Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit: ∆s/∆t. Will man die momentane Geschwindigkeit haben, so muss man den Grenzübergang zu sehr kleinen Zeiten dt machen. Man nennt ds resp. dt infinitesimal kleine Wege resp. Zeiten.
Mathematikunterricht:
Beide Schreibweisen sind in Gebrauch. Ein Strich bedeutet Ableitung nach x, ein Punkt Ableitung nach der Zeit. Die erste Ableitung von y(x) nach x entspricht der Steigung der Tangenten des Graphen von y(x).
Mathematik:
Man beachte die Position der Quadrate: Über dem Bruchstrich beim d, unter dem Bruchstrich bei der Variablen, nach der abgeleitet wird.
Der zurückgelegte Weg bei variabler Geschwindigkeit lässt sich ausrechnen, wenn man über einen kleinen Zeitabschnitten ∆t die Momentangeschwindigkeiten v(t) als konstant anschaut, v·∆t rechnet, und dann die Wegstücklein summiert. Wenn man den Übergang zu infinitesimal kleinen Zeitabschnitten dt macht, gelangt man zum Integral:
Das Integral ist die Fläche unter (hier) der v(t)-Kurve.
Fourieranalyse und -synthese
Die Fourieranalyse ist von J. Fourier im 19. Jhd. erfunden worden, um ein Problem der Wärmeleitung zu lösen. Jede Schwingung kann kann in eine (unendliche) Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt werden (Fourieranalyse). Summiert man diese Reihe, so erhält man die ursprüngliche Funktion zurück (Fouriersynthese). Die Methode lässt sich leicht erweitern: Beispielsweise lässt sich jede Welle in Elementarwellen zerlegen (Prinzip von Huygens) und jede Welle lässt sich als Überlagerung von Elementarwellen darstellen (Huygens-Fresnel).
letze Änderung: 29. Juli 2009 / Lie.
Revisionen: 26. Juli 2023 / Lie.
Zurück zur Startseite des Repetitoriums