Astronomie

Wir betrachten vor allem unser Sonnensystem.

Sonnensystem
Im Zentrum unseres Sonnensystems ist die Sonne. Die Planeten umkreisen die Sonne (Kopernikus). Die Planeten sind, von innen nach aussen: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Neptun und Uranus. Pluto ist nur noch ein Zwergplanet. Ausserdem gibt es noch Kleinplaneten (Planetoiden, Asteroiden) und Kometen. Die Erde hat einen Abstand von ca. 150 Millionen km von der Sonne (1 AE, astronomische Einheit, ca. 8 Lichtminuten).
Die Fixsterne sind viel weiter entfernt, der nächste Fixstern hat über 4 Lichtjahre Abstand. Die Sonne ist ein Stern in sehr geringem Abstand.
Der Mond umkreist die Erde. Die Mondphasen (Vollmond, Halbmond, Neumond, etc.) entstehen, weil nur der sonnenzugewandte Teil des Mondes beleuchtet wird und der beleuchtete Teil nicht ganz sichtbar ist, weil er teilweise von der Erde abgewandt ist. Bei einer Mondfinsternis tritt der Mond in der Erdschatten ein. Bei einer Sonnenfinsternis trifft der Mondschatten die Erde. Der Mond hat ca. 380'000 km Abstand von der Erde (etwas über eine Lichtsekunde).

Kepler'sche Gesetze
nach Johannes Kepler, um 1600

1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen.
Die Keplerschen Gesetze gelten, wenn die Masse des Zentralkörpers wesentlich grösser als die Masse der Satelliten ist und wenn sich die Satelliten nicht gegenseitig stören.

Ellipsen
Form und Grösse einer Ellipse werden durch die numerische Exzentrizität und die grosse Halbachse beschrieben.
Ellipse
a: grosse Halbachse, b: kleine Halbachse
F1, F2: Brennpunkte
c: Abstand Ellipsenmittelpunkt-Brennpunkt
ε = c/a numerische Exzentrizität
Bei ε = 0 ist die Ellipse ein Kreis und die grosse Halbachse ist dessen Radius.
Bei ε = 1 wird aus der Ellipse eine Strecke oder eine Parabel, für ε > 1 eine Hyperbel (Spezialfälle Geraden).

Ellipsenbahnen
Die Ellipse ist eine ebene Kurve. Die Ebene der Erdbahn heisst Ekliptik. Die Bahnen der anderen Planeten sind nur wenige Grad gegen die Ekliptik geneigt.
Der sonnennächste Punkt der Bahn heisst Perihel, der sonnenfernste Aphel. Die entsprechenden Abstände vom Sonnenzentrum sind a·(1-ε) resp. a·(1+ε).
Die Erde durchläft den Perihel anfangs Januar. Die Jahreszeiten werden nicht durch den Sonnenabstand, sondern durch die Neigung der Erdachse gegen die Ekliptik bestimmmt.
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Ungleichmässiger Planetenlauf
Aus dem 2. keplerschen Gesetz folgt, dass ein Planet den Perihel mit grösserer Schnelligkeit durchläuft als den Aphel. Dies ist eine der Ursachen für den ungleichmässigen Gang einer Sonnenuhr.
Kepler_zwo500x500.gif

Umlaufzeiten und Bahnradien der Planeten
Formal lautet das 3. keplersche Gesetz so:
(T1 : T2)2 = (a1 : a2)3
Umlaufzeiten lassen sich relativ leicht beobachten. Mit dem 3. Keplerschen Gesetz kann man dann aus der ersten Halbachse die zweite ausrechnen. Die grosse Halbachse ist ungefähr gleich dem mittleren Bahnradius.
Aus diesem Gesetz folgt, dass die Anziehungskraft der Sonne umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes variiert (s. unten).
Das Gesetz gilt nicht nur für Planeten, sondern auch z.B. für die Jupitermonde untereinander. Man darf aber nur Satelliten desselben Zentralgestirns vergleichen.

Newton'sches Gravitationsgesetz
Zwei Massen ziehen sich an mit der Gravitationskraft:
FG = G m1 m2 / r2

Kugelmassen
Das Gesetz gilt für kugelsymmetrische Massen. r ist der Abstand der Schwerpunkte. Die newtonsche Gravitationskonstante G ist eine Naturkonstante, die für alle Stoffe und überall im Universum denselben Wert hat.
G = 6.673·10-11 N m2 / kg2
Die Gravitationskraft ist immer anziehend und wirkt entlang der Verbindungslinie der Schwerpunkte. Gravitationskräfte mehrerer Himmelskörper auf einen Satelliten müssen vektoriell addiert werden.


Newton'sche Version des 3. Kepler'schen Gesetzes
Wenn sich ein Satellit auf einer Kreisbahn um einen Zentralkörper bewegt, so verursacht die Gravitationskraft die Zentripetalbeschleunigung:
Fres = m az
G m mz / r2 = m r ω2
Die Masse des Satelliten fällt heraus. Mit ω = 2π/T folgt:
G mz / (2π)2 = r3 / T2
Das Gesetz gilt auch noch, wenn man die grosse Halbachse statt des Bahnradius einsetzt. Es gestattet, die Masse des Zentralkörpers aus den Bahndaten eines Satelliten zu berechnen.

Gravitationsfeldstärke
Definition: Die Gravitationsfeldstärke g(r) ist gleich der Gravitationskraft FG(r) am Ort r auf einen kleinen Testkörper pro Masse m:
g(r) = FG(r)/m
Die Gravitationsfeldstärke ist die lokale Fallbeschleunigung. Im Abstand r von einer Punktmasse mz hat sie die Grösse:
g(r) = G mz / r2
Setzt man für mz die Erdmasse und für r den Erdradius ein, so erhält man etwa g(rE) = 9.8 m/s2.

Newtons Mondrechnung
Man kann die Gravitationskraft der Erde auf den Mond ausdrücken durch die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche:
FG = G mM mE / rEM2 = mM G mE / rE2 · (rE/rEM)2 = mM g(rE) (rE/rEM)2
Der Mond bewegt sich ungefähr auf einer Kreisbahn um die Erde:
Fres = m az
mM g(rE) (rE/rEM)2 = mM rEM ω2
Mit ω = 2π/T kann man die Umlaufzeit berechnen und erhält etwa 27 Tage (siderische Umlaufzeit, d.h. auf die Fixsterne bezogen).
Die Mondrechnung war ein Meilenstein in der Physikgeschichte, weil sie erstmals irdische Physik mit Astronomie verknüpfte: Im Himmel wirken dieselben physikalischen Gesetze wie auf der Erde!

Ergänzung: Gravitationsenergie
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Systems aus zwei Punktmassen ist
Egrav = -G m1 m2 / r
Die potenzielle Energie verschwindet bei sehr grossem Abstand (dann haben die Massen nichts mehr miteinander zu tun).
Die Energie nimmt zu, wenn man die Massen von einander entfernt. Die Hubarbeit ist die Differenz zweier Gravitationsenergien.

Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit
Welche Anfangsgeschwindigigkeit muss man einem Körper auf der Erdoberfläche verleihen, damit er nicht mehr zurück fällt? Von der Atmosphäre soll abgesehen werden.
Epot1 + Ekin1 = Epot2 + Ekin2
-G m mE / rE + 1/2 m v2 = 0 + 0
v2 = 2 G mE / rE


letzte Änderung: 30. Juli 2009 / Lie.
Revisionen: 26. Juli 2023 / Lie.

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