Wir betrachten vor allem die gleichmässige Kreisbewegung eines Punktes. Hier werden die Begriffe eingeführt, die wir auch in den Kapiteln Schwingungen und Wellen benötigen.
Krummlinige Bewegung
Bewegt sich ein Körper auf einer Kurve, so vollführt er eine beschleunigte Bewegung, weil sich (mindestens) die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert. Wir können die resultierende Kraft in eine Komponente quer und eine längs der Bewegungsrichtung zerlegen:
Fres = maq + mal
Die Längs- oder Tangentialkomponente der resultierenden Kraft macht den Körper schneller oder langsamer, sie verändert die Richtung nicht. Die Quer- oder Normalkomponente verändert lediglich die Bewegungsrichtung; da sie keine Arbeit verrichtet, lässt sie die kinetische Energie und damit die Schnelligkeit konstant.
Bogenmass
Die Formeln in diesem Kapitel werden einfacher, wenn man im Bogenmass rechnet (statt in Altgrad).
Das Bogenmass eines Winkels φ ist das Verhältnis von Bogenlänge b zu Kreisradius r.
φ = b/r
Einheit: Radiant (rad)
Winkel
Altgrad
Bogenmass
voller Winkel
360°
2π
gestreckter Winkel
180°
π
rechter Winkel
90°
π/2
° --> rad
47.3°
47.3°/180°·π rad = 0.826 rad
rad --> °
1.00 rad/π rad·180° = 57.3°
1.00 rad
Die Einheit Radiant (rad) muss geschrieben werden, falls der Winkel nicht als Vielfaches von π dargestellt werden kann, d.h. φ = π/2 (rad) = 1.57 rad.
Gleichmässige Kreisbewegung
Ein Punkt bewege sich mit konstanter Schnelligkeit v (Bahngeschwindigkeit, Schnelligkeit, Geschwindigkeitsbetrag) auf einem Kreis mit Radius r.
Begriffe:
Winkelgeschwindigkeit (gr. omega) ω = ∆φ/∆t, Einheit rad/s oder s-1
Die momentane Positon des Punktes auf dem Kreis ist φ(t) = φ0 + ω·t
Die Winkelgeschwindigkeit hängt mit der Schnelligkeit zusammen:
ω = v/r
Die Umlaufzeit T ist die Dauer eines vollständigen Umlaufs.
Die Frequenz f ist die Anzahl Umläufe pro Zeiteinheit. Die Frequenz hat die Einheit Hertz (Hz). Es ist f = 1/T. Die Tourenzahl (Drehzahl) mit Einheit U/min ist eine Frequenz in anderen Einheiten.
Winkelgeschwindigkeit, Umlaufzeit und Frequenz erfüllen die Beziehung:
ω = 2πf = 2π/T
Zentripetalbeschleunigung
Die Beschleunigung bei gleichmässiger Kreisbewegung hat den Betrag
az = v2/r = ω2r
Der Beschleunigungsvektor ist zum Kreiszentrum gerichtet.
Kraft bei gleichmässiger Kreisbwegung
Die resultierende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Zentripetalbeschleunigung.
Fz = m az
(Die radiale Komponente der resultierenden Kraft wird manchmal Zentripetalkraft genannt.)
Beispiel: Kegelpendel
Ein Fadenpendel wird gleichmässig auf einem horizontalen Kreis bewegt, so dass der Faden einen Kegelmantel überstreicht. Auf den Pendelkörper wirken nur Gewichts- und Fadenkraft. Wir kennen Richtung und Stärke der Gewichtskraft; von der Fadenkraft kennen wir nur die Richtung (parallel zum Faden). Die Vektorsumme dieser zwei Kräfte ergibt die Resultierende, die parallel zur Zentripetalbeschleunigung (zum Kreiszentrum, hier horizontal) gerichtet ist. Mit diesen Informationen können wir den Lage- und Kräfteplan skizzieren:
Lageplan
Kräfteplan
Haben wir noch eine zusätzliche Information, z.B. den Kegelwinkel, so ist der Kräfteplan bestimmt und wir können die Stärke der Kräfte ausrechen oder die Bahngeschwindigkeit des Pendelkörpers.
Ungleichmässige Kreisbewegung
Beispiel: Welche Bremsverzögerung aB ist maximal möglich, wenn ein Auto eine horizontale Kurve mit Radius r mit momentaner Schnelligkeit v durchfährt?
Auf den Wagen wirken Gewichts-, Normal- und Reibungskraft. Gewichts- und Normalkraft kompensieren sich, die Reibungskraft ist also gleich der resultierenden Kraft. Die Reibungskraft muss sowohl das Fahrzeug in der Kurve halten, als auch den Wagen langsamer machen: Fres = maz + maB
Die ablenkende Kraft wirkt quer, die bremsende Kraft längs der Bewegungsrichtung. Es gilt der Satz von Pythagoras und wir können die Ausdrücke für Reibungskraft und Zentripetalbeschleunigung einsetzen:
(Fres)2 = (maz)2 + (maB)2
(μmg)2 = (mv2/r)2 + (maB)2
Mit dieser Gleichung ist die Bremsverzögerung aB bestimmmt.
