Starrer Körper
Was ist neu?
Starre Körper sind ausgedehnte Objekte mit Masse, die ihre Form unter Krafteinfluss exakt beibehalten. Greift ein Paar aus entgegengesetzt gerichteten, gleichstarken Kräften am gleichen Körper an, so bleibt der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) unbeschleunigt. Sind aber die Wirkungslinien der zwei Kräfte verschieden, so kann der Körper in eine ungleichmässige Drehung versetzt werden:
Der Abstand der Wirkungslinien heisst Hebelarm. Die Drehwirkung des Kräftepaares wächst mit dem Hebelarm und der Stärke der Kraft. Das Produkt aus Kraft und Hebelarm heisst Drehmoment M.
Drehmoment
Das Drehmoment ist das Mass dafür, wie stark man eine Schraube anziehen muss (u.a.).
M = a·F (Hebelarm mal Kraft)
Einheit; Nm (Newton-Meter)
Der Hebelarm ist hier a = r sinα, wobei r der Abstand von der Drehachse D zum Angriffspunkt der Kraft ist. Damit folgt:
Das Drehmoment hat eine Richtung. Solange wir nur ebene Probleme betrachten, können wir die Richtung durch ein Vorzeichen ausdrücken. (Im Raum ergibt sich ein Vektorprodukt: M = r x F). Drehmomente sind positiv, wenn sie eine Drehung im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn, "links herum") verursachen.
gerader Hebel
| zweiseitiger Hebel |
einseitiger Hebel |
 |
 |
| a1F1 - a2F2 = 0 |
a1F1 - a2F2 - aGFG = 0 |
Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der Drehmomente (inkl. Vorzeichen) verschwindet. Natürlich müssen sich auch die Kräfte kompensieren.
Schwerpunkt
Ein starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn man ihn im Schwerpunkt unterstützt.
Bei symmetrischen Körpern liegt der Schwerpunkt auf der Symmetrieachse, der Symmetrieebene oder dem Symmetriezentrum. Der gemeinsame Schwerpunkt zweier Körper teilt die Verbindungslinie der zwei Schwerpunkte im umgekehrten Verhältnis der Massen.
Gleichgewicht
Ein starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn sich alle Drehmomente sowie alle Kräfte aufheben.
Ein Körper im Gleichgewicht kann sich noch gleichmässig um den Schwerpunkt drehen und sein Schwerpunkt kann sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.
Beispiel: Asymmetrisch unterstützter Balken
Mit welcher Kraft drücken die Lager A und B nach oben?
Da sich der Balken nicht dreht, können wir uns die "Drehachse" D irgendwo denken. Denken wir sie uns bei A, so müssen sich das Drehmoment des Gewichts und jenes des Lagers B kompensieren. Daraus erhält man eine Bedingung für die Kraft bei B:
AS·FG = AB·FB.
Denken wir uns die Drehachse bei B, erhalten wir eine Gleichung für FA
Arbeit und Leistung des Drehmoments
Wenn ein Drehmoment M einen Hebel um den Winkel φ dreht, so verrichtet es dabei die Arbeit W = M·φ
Dreht es den Hebel mit Winkelgeschwindigkeit ω, so erbringt es die Leistung P = M·ω
Beispiel: Ein Automotor erzeugt ein Drehmoment von 380 Nm bei einer Tourenzahl von 3600 U/min.
P = M·ω = M·2πf = 380 Nm 2π 3600/60 s = 143 kW
Ergänzungen:
Rotationsenergie
Erot = 1/2 J ω2
Das Trägheitsmoment J verschiedener Körper bezüglich einer bestimmten Drehachse ist tabelliert.
Drehimpuls
Rotiert ein ausgewuchteter Körper gleichmässig um eine feste Achse, so nennt man die Grösse L = J·ω seinen Drehimpuls (Drall, "Drehschwung"). In diesem Fall ist der Drehimpulsvektor parallel zur Drehachse. Der Drehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist erhalten. Der Drehimpuls kann durch ein Drehmoment verändert werden (dann ist aber das System nicht abgeschlossen).
letzte Änderung: 31. Juli 2009 / Lie.
Revisionen: 26. Juli 2023 / Lie.
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