Schwingungen
Eine mechanische Schwingung ist eine regelmässige Bewegung mit häufigen Richtungswechseln durch einen klar bestimmten Bewegungsmittelpunkt (Nulllage, Gleichgewichtslage) hindurch. Die Beschreibung lässt sich leicht auf nicht-mechanische Vorgänge erweitern (elektrische Schwingungen, Temperaturschwingungen). Das Fremdwort für Schwingung ist Oszillation oder Vibration.
Harmonische Schwingung
Eine harmonische Schwingung ist ein Vorgang, der sich mit folgender Gleichung beschreiben lässt:
y(t): Momentanwert, bei mechanischen Schwingungen auch Elongation (Auslenkung)
A: Amplitude, Spitzenwert (A > 0)
ω: Kreisfrequenz in rad/s oder s-1
t: Zeitpunkt
φ0: Anfangsphase, Nullphase in Radiant (rad)
φ(t) = ωt + φ0: momentane Phase (rad)
T: Schwingungsdauer (zeitliche Periode)
f = 1/T: Frequenz (Hz)
Die Kreisfrequenz wird durch das schwingende System festgelegt, Amplitude und Nullphase durch die Startwerte.
Die Nullphase legt fest, ob es sich um eine Sinus- oder Kosinus-Funktion handelt oder etwas dazwischen. Die momentane Phase legt fest, in welchem Zustand sich die Schwingung befindet. In einem Maximum ist die momentane Phase immer π/2, bei einem Nulldurchgang π etc. (bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π).
Neben der harmonischen Schwingung sind noch Dreiecks- und Rechtecksschwingung von Bedeutung. Gedämpfte Schwingungen sind nicht mehr periodisch (s. unten).
Die harmonische Schwingung kann als Projektion einer gleichmässigen Kreisbewegung dargestellt werden, deshalb treten bei der Beschreibung dieselben Variablen und Beziehungen auf.
Die momentane Geschwindigkeit ist die erste Ableitung von y(t) nach der Zeit:
v(t) = dy/dt = ωA cos(ωt + φ0)
Die momentane Beschleunigung ist die zweite Ableitung von y(t) nach der Zeit:
a(t) = dv/dt = d2y/dt2 = -ω2A sin(ωt + φ0)
Bei einer harmonischen Schwingung ist also die momentane Beschleunigung bis auf einen negativen, konstanten Faktor gleich der momentanen Elongation (a la Federgesetz).
Mathematisches Pendel
Das mathematische Pendel ist ein idealisertes Faden- oder Stangenpendel: Eine kleine Masse m schwingt an einem Faden der Länge l. Die Schwingungsdauer bei kleiner Amplitude beträgt:
T = 2π√(l/g)
Die Schwingungsdauer ist unabhängig von Material und Masse. Das Sekundenpendel hat eine Schwingungsdauer (hin und her) von exakt zwei Sekunden.
Federpendel
Ein Körper der Masse m hängt an einer (masselosen) Feder mit Federkonstante k. Die Schwingungsdauer beträgt
T = 2π√(m/k)
Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude.
Gedämpfte Schwingung
Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude mit der Zeit ab. Die einfachste gedämpfte Schwingung kann mit folgender Gleichung beschrieben werden:
y(t) = A0 e-δ·t cos(ωt + φ0)
A0 e-δ·t: exponentiell abnehmende Amplitude
δ: Dämpfungskonstante (s-1)
Erzwungene Schwingung/Resonanz
Wird ein Oszillator (Schwinger) zum Mitschwingen gezwungen, so wird die Amplitude besonders gross, wenn die Erregerfrequenz in der Nähe der Eigenfrequenz des freien Oszillators liegt. Dieser Effekt heisst Resonanz.
Ergänzungen: Zusatz
letzte Änderung: 9. Juli 2008 / Lie.
Revisionen: 27. Juli 2023 / Lie.
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