Zusatz (Schwingungen)

Differenzialgleichung des harmonischen Oszillators
Eine harmonische Schwingung erfüllt die Differenzialgleichung
d²y/dt² + ω₀² y = 0 (Bewegungsgleichung)
Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist eine Funktion y(t) mit zwei freien Parametern: y(t) = A cos(ω₀t+φ₀) (Bahngleichung)

Beispiel: Der Strom in einem geschlossenen Stromkreis mit einem Kondensator der Kapazität C und einer Spule der Induktivität L erfüllt die Gleichung
d²i/dt² + (LC)^-1 i = 0
Der Strom schwingt also harmonisch mit Kreisfrequenz ω₀ = (LC)^-1/2.
Beispiel: Aus F_res = ma = m·d²y/dt² erhält man für einen Körper an einer Feder (F = -ky) die Bewegungsgleichung
d²y/dt² + (k/m) y = 0
Der Körper schwingt also harmonisch mit Kreisfrequenz ω₀ = (k/m)^1/2.

Bestimmung von Nullphase und Amplitude
Aus den Startwerten y₀ = y(0) und v₀ = v(0) erhält man mit den Bahngleichungen folgendes Gleichungssystem:
y(t) = A cos(ωt +φ₀) → y₀ = A cos(φ₀)
v(t) = -ωA sin(ωt +φ₀) → v₀ = - A ω₀ sin(φ₀)
Aus dem Verhältnis v₀:y₀ kann man somit die Startphase berechnen und weiter die Startamplitude.
Falls die Schwingung mit v₀ = 0 startet, so ist es eine Cosinus- oder Minus-Cosinus-Schwingung, falls y₀ = 0 ist, so ist es eine Sinus- oder Minus-Sinus-Schwingung.

Differenzialgleichung der gedämpften Schwingung
Die einfachste Bewegungsgleichung mit Dämpfung ist linear:
d²y/dt² + 2δ·dy/dt + ω₀² y = 0
Diese Differenzialgleichung folgt z.B. wenn bei einem Federpendel die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit ist. Das typische Beispiel ist der LCR-Serieschwingkreis.
Die Lösung dieser Gleichung ist y(t) = A₀ e^-δ·t cos(ωt + φ₀), falls die Dämpfungskonstante δ kleiner als die Kreisfrequenz ω₀ ist (sog. "schwache Dämpfung"). Die Kreisfrequenz der Schwingung ist ω = (ω₀² - δ²)^1/2. Sie liegt leicht tiefer als die Kreisfrequenz ω₀ der ungedämpften Schwingung. Falls die Dämpfung zu stark wird, schwingt der Oszillator nicht mehr.

Erzwungene Schwingungen/Resonanz
Ein freier Oszillator schwingt mit der sogenannten Eigenfrequenz. Wird z.B. ein Fadenpendel zu Schwingungen angeregt, indem z.B. der Aufhängepunkt mit der Erregerfrequenz hin und her bewegt wird, so beginnt auch die Pendellinse zu schwingen. Sobald der Einschwingvorgang abgeklungen ist, schwingt die Pendellinse harmonisch mit der Erregerfrequenz. Die Antwortschwingung der Pendellinse hat meistens eine andere Amplitude und Phase als die Erregerschwingung. Wenn die Erregerfrequenz nahe bei der Eigenfrequenz liegt, kann die Amplitude der Antwortschwingung sehr gross werden (Resonanz)

Je kleiner die Dämpfung, desto höher ist die Antwortamplitude bei Resonanz. Bei Resonanz hinkt die Antwortschwingung der Erregerschwingung eine Viertelperiode nach.

Überlagerung von Schwingungen
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz ergibt wieder eine harmonische Schwingung von derselben Frequenz. Die Amplitude der Summenschwingung liegt zwischen Null und der Summe der Summanden-Amplituden, je nach Phasenverschiebung zwischen den Summanden.
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen ähnlicher Frequenz ergibt "eine harmonische Schwingung mit der Mittelfrequenz, deren Amplitude regelmässig an und abschwillt" (Schwebung). Die Schwebungsfrequenz ist die Differenz der Einzelfrequenzen. Sie entspricht der Frequenz der hörbaren Lautstärkevariation, wenn man zwei leicht verstimmte Stimmgabeln gleichzeitig anschlägt.
Die Überlagerung unendlich vieler Schwingungen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache einer tiefsten Frequenz (Grundfrequenz) sind, ist eine periodische Funktion. Jede periodische Funktion kann in dieser Weise als unendliche Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden (Satz von Fourier). Die Zerlegung einer Funktion in harmonische Schwingungen heisst Fourieranalyse, die Bildung der Funktion aus den Teilschwingungen wird Fouriersynthese genannt.
Schwingt ein Punkt gleichzeitig entlang zueinander senkrechter Richtungen, so entstehen Lissajous-Figuren, falls die Frequenzen in einem rationalen Verhältnis zueinander stehen. So lässt sich z.B. kontrollieren, ob eine zweite Schwingung genau die doppelte Frequenz einer ersten Schwingung hat.

Gekoppelte Schwingungen
Sind zwei Pendel schwach miteinander gekoppelt und wird eines angestossen, so wandert Schwingungsenergie von einem Pendel zum anderen und wieder zurück. Diese komplizierte Bewegung kann als Überlagerung von Eigenschwingungen dargestellt werden.
An z.B. einer Pendelkette kann man erkennen, dass die Schwingungsenergie in der Art einer Welle wandert, und zwar umso schneller, je stärker die Kopplung ist, und umso langsamer, je träger die Pendel sind.
Sind N Pendel miteinander gekoppelt, so treten N Eigenschwingungen auf. Ein makroskopischer Körper kann als viele gekoppelte Atome aufgefasst werden. Die niederfrequenten Eigenschwingungen heissen Biegeschwingungen, die hochfrequenten sind Wärmebewegungen.

letzte Änderung: 9. Juli 2008 / Lie.
Revisionen: 27. Juli 2023 / Lie.

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