Wellen
Beispiele:
Wasserwellen, Schallwellen, elektromagnetische Wellen (Licht, Radiowellen, ...), Erdbebenwellen, Temperaturwellen, Materiewellen, etc.
Eine Welle ist ein ort- und zeitabhängiges Erregungsmuster: u(x,t)
Sie beschreibt z.B. den momentanen Schalldruck, die momentane Feldstärke, etc., je nach Wellentyp.
Man muss die Welle (z.B. das Rippelmuster auf einer Wasserfläche) vom Träger der Welle (das Wasser) unterscheiden. Die Welle kann sich schnell bewegen, während die Teile des Trägers nur um die Gleichgewichtslage herum schwingen.
Bei einer Longitudinalwelle bewegen sich die Teile des Trägers längs (longitudinal) der Bewegungsrichtung der Welle. Beispiel: Schallwellen
Bei einer Transversalwelle bewegen sich die Teile des Trägers quer (transversal) zur Bewegungsrichtung der Welle. Die zwei Basisrichtungen nennt man Polarisationen der Welle. Beispiel: elektromagnetische Wellen
Grundmodelle
1. Wandernder Berg
u(x,t) = f(x-ct) rechtslaufende Welle (Richtung positive x-Achse)
u(x,t) = f(x+ct) linkslaufende Welle
Die Funktion f(x) beschreibt die Form der Welle, c ist die Wellengeschwindigkeit (lat. celeritas). Der Graph der Funktion f(x) wird seitlich verschoben.
2. Harmonische Welle
u(x,t) = û·sin(kx-ωt) rechtslaufende Sinuswelle
Läuft die Welle an einem Punkt vorbei, so beobachtet man dort eine harmonische Schwingung mit Schwingungsdauer T resp. Frequenz f = 1/T.
Der Abstand Wellenberg-nächster Wellenberg oder Nullstelle-übernächste Nullstelle heisst Wellenlänge λ.
Die Parameter in u(x,t) sind:
û: Spitzenwert oder Amplitude
k = 2π/λ Kreiswellenzahl mit Einheit m-1 oder rad/m
ω = 2πf = 2π/T Kreisfrequenz mit Einheit s-1 oder rad/s
φ(x,t) = kx-ωt momentane Phase (in rad): Sie zeigt an, in welchem Zustand (Maximum, Minimum, Nulldurchgang, etc.) die Welle gerade ist.
Während einer Schwingungsdauer T kommt die harmonische Welle eine Wellenlänge λ vorwärts; also gilt für die Wellengeschwindigkeit: c = λ/T = ω/k oder
3. Stehende Welle
u(x,t) = û·sin(kx) cos(ωt) stehende Sinuswelle
Diese und alle anderen Wellen lassen sich als Überlagerung von harmonischen Wellen darstellen (Satz von Fourier), s. Akustik.
Ausbreitungsgeschwindigkeiten einzelner Wellentypen:
Beispeil: Federkette
Viele Massen werden durch Federn zu einer langen Kette verbunden. Versetzt man die erste Masse in Schwingung, so wird die damit verbundene, nächste Masse zum Mitschwingen gezwungen. Aus der Theorie der erzwungenen Schwingung weiss man, dass die Nachbarmasse mit derselben Frequenz schwingen wird, aber ein wenig verspätet: Auf der Kette breitet sich eine Welle aus. Die Welle wandert umso schneller, je härter die Federn und je kleiner die damit verbundenen Massen sind.
Elektromagnetische Wellen
Spektrum der elektromagnetischen Wellen (Bereiche grob, Grenzen unscharf)
| λ | Name |
| > 1 m | Radiowellen |
| 1 mm - 1 m | Mikrowellen, Radarwellen |
| 780 nm - 1 mm | Infrarot |
| 400 nm - 700 nm | sichtbares Licht |
| 1 nm - 380 nm | Ultraviolett |
| 1 pm - 10 nm | Röntgenstrahlen (X-rays) |
| < 10 pm | Gammastrahlung |
Alle elektromagnetischen Wellen bewegen sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit:
In Materie laufen die Wellen langsamer, z.B. Licht um den absoluten Brechungsindex
cmat = cvac / nmat
Radiowellen werden mit Schwingkreisen erzeugt. Eine Stabantenne sendet am meisten aus, wenn ihre Länge gleich der halben Wellenlänge ist (Resonanzbedingung).
Longitudinale Schallwellen in Stäben
Eine Kompressionswelle in einem Stab ist umso schneller, je grösser der Elastizitätsmodul E und je kleiner die Dichte ρ des Stabmaterials ist.
c = (E/ρ)1/2
(Für Biegewellen sind die Zusammenhänge schwieriger.)
Schallwellen in Flüssigkeiten
Eine Kompressionswelle in einem Fluid ist umso schneller, je kleiner die Kompressibilität χ und die Dichte ρ sind.
c = (χρ)-1/2
Diese Beziehung gilt auch für Gase, allerdings ist bei diesen die Kompressibilität vom Druck abhängig.
Schallwellen in Gasen
Die Schallgeschwindigkeit ist umso grösser, je höher die absolute Temperatur T und je kleiner die molare Masse M des Gases ist:
c = (κRT/M)1/2
Darin ist R die universelle Gaskonstante und κ der Adiabatenexponent (ca. 5/3 für einatomige und 7/5 für zweiatomige Gase). Man beachte, dass die molare Masse in kg/mol eingesetzt werden muss.
Schallwellen in Luft bei 20 °C bewegen sich mit
Transversale Seil- und Saitenwellen
Seil- oder Saitenwellen sind umso schneller, je grösser die Spannkraft F und je kleiner die Linienmassendichte μ (Masse pro Länge, Massenbelegung) ist:
c = (F/μ)1/2
Bei einer homogenen Saite ist die Massenbelegung das Produkt aus Dichte und Querschnittsfläche.
Dispersion
Eine Welle zeigt Dispersion, wenn die Wellengeschwindigkeit von der Frequenz abhängt, z.B. Wasserwellen, Licht in Materie, Biegewellen auf Stäben. Deshalb kann z.B. Licht durch ein Prisma in seine Farben aufgespalten werden.
Schall in Gasen, Kompressionswellen in Stäben und Flüssigkeiten, elektromagnetische Wellen im Vakuum sind dispersionsfrei.
Ergänzung: Polarisation
Letzte Änderung: 27. August 2008 / Lie.
Revisionen: 27. Juli 2023 / Lie.
Zurück zur Startseite des Repetitoriums